Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}中，各項都是正數(shù)，且a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}-{a}_{3}}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，（q＞0），運用等差數(shù)列的中項的性質和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求值．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，（q＞0），
由a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，可得
a₃=a₁+2a₂，
即有a₁q²=a₁+2a₁q，
即為q²-2q-1=0，
解得q=1+$\sqrt{2}$（負的舍去），
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}-{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}q}{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{2}}$=$\frac{q}{1-{q}^{2}}$
=$\frac{1+\sqrt{2}}{1-（1+\sqrt{2}）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用，同時考查等差數(shù)列的中項的性質，考查運算能力，屬于基礎題．