16.如圖,直角三角形ABC中,A=60°,沿斜邊AC上的高BD,將△ABD折起到△PBD的位置,點E在線段CD上.
(1)求證:PE⊥BD;
(2)過點D作DM⊥BC交BC于點M,點N為PB中點,若PE∥平面DMN,求$\frac{DE}{DC}的值$.

分析 (1)由BD是AC邊上的高,得出BD⊥CD,BD⊥PD,由此證明BD⊥平面PCD,即可證明PE⊥BD;
(2)連接BE,交DM與點F,由PE∥平面DMN,得出PE∥NF,證明△DEF是等邊三角形,再利用直角三角形的邊角關系求出$\frac{DE}{DC}$的值即可.

解答 解:(1)∵BD是AC邊上的高,
∴BD⊥CD,BD⊥PD,
又PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PCD,
又PE?平面PCD中,
∴BD⊥PE,即PE⊥BD;
(2)如圖所示,
連接BE,交DM與點F,
∵PE∥平面DMN,
∴PE∥NF,
又點N為PB中點,
∴點F為BE的中點;
∴DF=$\frac{1}{2}$BE=EF;
又∠BCD=90°-60°=30°,
∴△DEF是等邊三角形,
設DE=a,則BD=$\sqrt{3}$a,DC=$\sqrt{3}$BD=3a;
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$.

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題,也考查了空間想象能力與邏輯推理能力的應用問題,是綜合性題目.

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