【題目】已知拋物線的方程為,過點的直線與拋物線相交于兩點,分別過點作拋物線的兩條切線和,記和相交于點.
(1)證明:直線和的斜率之積為定值;
(2)求證:點在一條定直線上.
【答案】(1)直線和的斜率之積為定值.(2)點在定直線上.
【解析】試題分析:(1)依題意,直線的斜率存在,設直線的方程為,與拋物線聯(lián)立得,設的坐標分別為,根據(jù)求導得切線斜率,結(jié)合韋達定理即可證得;
(2)由點斜式寫出直線和的方程,聯(lián)立這兩個方程,消去得整理得,注意到,所以,此時,從而得證.
試題解析:
解:(1)依題意,直線的斜率存在,設直線的方程為,
將其代入,消去整理得.
設的坐標分別為,
則.
將拋物線的方程改寫為,求導得.
所以過點的切線的斜率是,過點的切線的斜率是,
故,
所以直線和的斜率之積為定值.
(2)設.因為直線的方程為,即,
同理,直線的方程為,
聯(lián)立這兩個方程,消去得,
整理得,注意到,所以.
此時.
由(1)知, ,所以 ,
所以點在定直線上.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線a、b和平面,下列說法中正確的有______ .
若,則;
若,則;
若,則;
若直線,直線,則;
若直線a在平面外,則;
直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則;
若直線,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)業(yè)余足球運動員共有15000人,其中男運動員9000人,女運動員6000人,為調(diào)查該地區(qū)業(yè)余足球運動員每周平均踢足球占用時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位業(yè)務足球運動員每周平均踢足球占用時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)
得到業(yè)余足球運動員每周平均踢足球所占用時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
將“業(yè)務運動員的每周平均踢足球時間所占用時間超過4小時”
定義為“熱愛足球”.
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(1)應收集多少位女運動員樣本數(shù)據(jù)?
(2)估計該地區(qū)每周平均踢足球所占用時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有80位女運動員“熱愛足球”.請畫出“熱愛足球與性別”列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“熱愛足球與性別有關(guān)”.
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【題目】已知表示兩個不同的平面, 表示兩條不同直線,對于下列兩個命題:
①若,則“”是“”的充分不必要條件;
②若,則“”是“且”的充要條件.判讀正確的是( )
A. ①②都是真命題 B. ①是真命題,②是假命題
C. ①是假命題,②是真命題 D. ①②都是假命題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值為1.
(1)求a+b+c的值;
(2)求證:a2+b2+c2 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當時, .現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象,如圖所示,并根據(jù)圖象:
(1)直接寫出函數(shù), 的增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,已知曲線C1:ρ=2cosθ,將曲線C1上的點向左平移一個單位,然后縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,得到曲線C,又已知直線l: (t是參數(shù)),且直線l與曲線C交于A,B兩點.
(1)求曲線C的直角坐標方程,并說明它是什么曲線;
(2)設定點P( ,0),求|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過市場調(diào)查,超市中的某種小商品在過去的近40天的日銷售量(單位:件)與價格(單位:元)為時間(單位:天)的函數(shù),且日銷售量近似滿足,價格近似滿足。
(1)寫出該商品的日銷售額(單位:元)與時間()的函數(shù)解析式并用分段函數(shù)形式表示該解析式(日銷售額=銷售量商品價格);
(2)求該種商品的日銷售額的最大值和最小值.
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