Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．以O(shè)為極點(diǎn)，Ox正半軸為極軸，兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若α=$\frac{π}{3}$，求線段|AB|的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把曲線C的參數(shù)方程為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得C的極坐標(biāo)方程．
（2）當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程化為：13t²+56t+48=0，利用|AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的參數(shù)方程為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得C的極坐標(biāo)方程為：ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，即ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$．
（2）當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
把直線的參數(shù)方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，化為：13t²+56t+48=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{56}{13}$，t₁t₂=$\frac{48}{13}$．
∴|AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、橢圓的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．