Question

12．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P（x，y）是直線l與圓C及內(nèi)部的公共點(diǎn)，求$\sqrt{3}$x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，化極坐標(biāo)方程為普通方程；
（2）由點(diǎn)P在圓內(nèi)，代入圓的方程，可得t的范圍，再由不等式的性質(zhì)，即可得到$\sqrt{3}$x+y的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$sinθ-2cosθ．
∴ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ-2ρcosθ．
∴x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x，即（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
（Ⅱ）∵$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）+$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t=-t，
由P在圓內(nèi)，可得（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+1）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t-$\sqrt{3}$）²＜2，
即$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{4}$t²＜2，即t²＜2，
解得-$\sqrt{2}$＜t＜$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜-t＜$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{3}$x+y的范圍是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，以及不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．