Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x），其周期為4，且當x∈[-1，3]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，1]\\ 1-|x-2|，x∈（1，3]\end{array}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：由g（x）=f（x）-kx-k=0
得f（x）=kx+k=k（x+1），
設y=h（x）=k（x+1），則直線h（x）過點（-1，0），
∵函數(shù)f（x）的周期是4，
∴作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①若直線斜率k=0時，不滿足條件，
②若k＞0，當直線經(jīng)過點A（2，1）時，此時直線和函數(shù)f（x）有3個不同的交點，此時由3k=1，解得k=$\frac{1}{3}$，
當直線在B處與半圓相切時，直線和函數(shù)f（x）有5個不同的交點，
此時圓心（4，0）到直線kx-y+k=0的距離d=$\frac{|4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|5k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，此時若滿足條件，則$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$，
③若k＜0，當直線經(jīng)過點D（-6，1）時，此時直線和函數(shù)f（x）有5個不同的交點，此時由-5k=1，解得k=-$\frac{1}{5}$，
當直線在C處與半圓相切時，直線和函數(shù)f（x）有3個不同的交點，
此時圓心（-4，0）到直線kx-y+k=0的距離d=$\frac{|-4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|3k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，此時若滿足條件，則-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$＜x＜-$\frac{1}{5}$，
綜上k∈（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$），
故答案為：（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）

點評 本題主要考查函數(shù)零點和方程的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．