Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x），其周期為4，且當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，1]\\ 1-|x-2|，x∈（1，3]\end{array}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由g（x）=f（x）-kx-k=0
得f（x）=kx+k=k（x+1），
設(shè)y=h（x）=k（x+1），則直線(xiàn)h（x）過(guò)點(diǎn)（-1，0），
∵函數(shù)f（x）的周期是4，
∴作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①若直線(xiàn)斜率k=0時(shí)，不滿(mǎn)足條件，
②若k＞0，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)和函數(shù)f（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)由3k=1，解得k=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)直線(xiàn)在B處與半圓相切時(shí)，直線(xiàn)和函數(shù)f（x）有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（4，0）到直線(xiàn)kx-y+k=0的距離d=$\frac{|4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|5k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，此時(shí)若滿(mǎn)足條件，則$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$，
③若k＜0，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-6，1）時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)和函數(shù)f（x）有5個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)由-5k=1，解得k=-$\frac{1}{5}$，
當(dāng)直線(xiàn)在C處與半圓相切時(shí)，直線(xiàn)和函數(shù)f（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（-4，0）到直線(xiàn)kx-y+k=0的距離d=$\frac{|-4k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即|3k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，此時(shí)若滿(mǎn)足條件，則-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$＜x＜-$\frac{1}{5}$，
綜上k∈（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$），
故答案為：（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，$\frac{1}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．