Question

19．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx
（I）求函數(shù)f（x）的最大值及對應x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，若（$\frac{C}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，且△ABC的周長為6時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）依次利用余弦降冪、正弦倍角，輔助角公式化簡函數(shù)f（x），得到最簡形式．
（2）從正弦函數(shù)的圖象可以分析得到圖象的對稱中心在正弦函數(shù)圖象上，故帶入函數(shù)即可得到C角的值，再利用余弦定理與基本不等式求出ab，從而得到三角形面積的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx，
由三角恒等式：2cos²x=1+cos2x，及sin2x=2sinxcosx，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}$-$\frac{sin2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}cos2x-sin2x}{2}$，
由輔助角公式得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
此時x=-$\frac{π}{12}$+kπ（k∈Z），
（2）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵（$\frac{C}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，
∴sin（C-$\frac{π}{3}$）=0，
得：C=$\frac{π}{3}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
由余弦定理知cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴12+ab=4（a+b），
由基本不等式得：12+ab≥8$\sqrt{ab}$，
∴（$\sqrt{ab}$-2）（$\sqrt{ab}$-6）≥0，
∴ab≤4或ab≥36（舍），
∴當ab=4時，面積最大，為$\sqrt{3}$，
此時a=b=c=2．

點評 本題考查余弦降冪、正弦倍角，輔助角公式，需熟練掌握．將對稱中心帶入函數(shù)即可得到C角的值，再利用余弦定理與基本不等式求出ab，從而得到三角形面積的最值．