Question

18．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+$\frac{1}{2}$恒成立，且當x＞0時，f（x）＞f（0）恒成立，
（1）盤點f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（2）若函數(shù)F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中max$\{a，b\}=\left\{\begin{array}{l}a，a≥b\\ b，a＜b\end{array}$）有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁x₂x₃的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0，求出f（0）的值，代入證明即可；
（2）求出k，構造函數(shù)g（x）=max{-x，2x-x²}，由-x＞2x-x²?x＜0，或x＞3，得到關于k的二次函數(shù)，求出u的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）在R遞增，
證明如下：取x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+$\frac{1}{2}$，解得：f（0）=-$\frac{1}{2}$，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）+$\frac{1}{2}$-f（x₁）=f（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$＞0，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R遞增；
（2）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1=0
?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$
?f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
而f（x）在R遞增，
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0）?max{-x，2x-x²}+（-k）=0
?k=max{-x，2x-x²}，
構造函數(shù)g（x）=max{-x，2x-x²}，由-x＞2x-x²?x＜0，或x＞3，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x∈（-∞，0）∪（3，+∞）}\\{2x{-x}^{2}，x∈[0，3]}\end{array}\right.$，
于是，結合題意得：
y=k與y=g（x）的圖象有3個不同的交點，
不妨設這3個零點為：x₁＜x₂＜x₃，
則0＜k＜1，x₁=-k，x₂，x₃是方程2x-x²=k的兩根，
即x₂，x₃的方程x²-2x+k=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{+x}_{3}=2}\\{{x}_{2}{•x}_{3}=k}\end{array}\right.$，
∴u=（x₁+x₂+x₃）+x₁x₂x₃=2-k-k²=$\frac{9}{4}$-${（k+\frac{1}{2}）}^{2}$在k∈（0，1）遞減，
故0＜u＜2．

點評 不同考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查轉化思想，是一道綜合題．