Question

8．對于下列數(shù)的排列：
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
…
寫出并證明第n行所有數(shù)的和a_n與n的關(guān)系式．

Answer 1

分析 根探究其規(guī)律，再根據(jù)等差的數(shù)列的前n項和公式即可證明．

解答 解：第一行數(shù)字的和，2+3+4=9=3²，
第二行數(shù)字的和，3+4+5+6+7=25=5²，
第三行數(shù)字的和，4+5+6+7+8+9+10=49=7²，
依此類推，a_n=（2n+1）²，
理由如下：第一行有3個數(shù)字，第二行有5個數(shù)字，第三行由7個數(shù)字，
第n行有3+2（n-1）=2n+1個數(shù)字，
且第n行的第一個數(shù)字為n+1，
故a_n=（n+1）（2n+1）+$\frac{（2n+1）（2n+1-1）}{2}$=（2n+1）²．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于中檔題．