Question

19．如圖，AB是△ABC外接圓O的直徑，四邊形DCBE為矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．
（1）證明：直線BC⊥平面ACD；
（2）當(dāng)三棱錐E-ABC的體積最大時，求異面直線CO與DE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意推導(dǎo)出DC⊥BC，AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACD．
（2）連接CO，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，由${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•BE$，得到當(dāng)h=2，即CO⊥AB時，三棱錐E-ABC的體積最大，由此能求出當(dāng)三棱錐E-ABC的體積最大時，異面直線CO與DE所成角的大�。�

解答 （文）（本題滿分14分） 本題共2個小題，第1小題（6分），第2小題（8分）．
證明：（1）由題意，得：DC⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，
∴DC⊥BC，
又∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，…（3分）
于是由BC⊥DC，BC⊥AC，DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACD．…（6分）
解：（2）連接CO，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，
則${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•BE$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AB•h$=$\frac{2}{3}•h$，…（8分）
故當(dāng)h=2，即CO⊥AB時，三棱錐E-ABC的體積最大．…（10分）
由DE∥BC得，∠BCO為異面直線CO與DE的所成角．…（12分）
而在△BCO中，CO⊥AB，CO=OB=2 故∠BCO=$\frac{π}{4}$，
∴異面直線CO與DE所成角的大小為$\frac{π}{4}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．