Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₂$\sqrt{-{x^2}+2x+3}$，則f（x）的定義域是（-1，3）；最大值是2；f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可，結(jié)合二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：由-x²+2x+3＞0，
得x²-2x-3＜0，即（x-3）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜3，
故不等式的解集是（-1，3）；
令g（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
故f（x）≤log₂4=2，
由g（x）的對稱軸是x=1，
故g（x）在（-1，1）遞增，
即f（x）在（-1，1）遞增；
故答案為：（-1，3），2，（-1，1）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．