Question

5．某市高二學生進行了體能測試，經(jīng)分析，他們的體能成績X服從正態(tài)分布N（μ，σ²），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）現(xiàn)從該市高二學生中隨機抽取3位同學，記抽到的3位同學中體能測試成績不超過75分的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P（75＜X＜95）=1-P（X≤75）-P（X≥95），能求出結果．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）∵體能成績X服從正態(tài)分布N（μ，σ²），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，
∴P（75＜X＜95）=1-P（X≤75）-P（X≥95）
=1-0.5-0.1=0.4．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．