Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別于單位圓交于A，B兩點(diǎn)，
（1）如果A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

4

5

、

12

13

，求cos（β-α）的值．
（2）已知點(diǎn)C（-1，

3

），記函數(shù)f（α）=

OA

•

OC

，求f（α）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出有sinα、sinβ、cosα、cosβ的值，可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα 的值．
（2）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得f（x）=2sin（α-

π

6

），再根據(jù)α為銳角、正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）如果A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

4

5

、

12

13

，則有sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

，
結(jié)合α為銳角、β為鈍角，可得cosα=

1-sin2α

=

3

5

，cosβ=-

1-sin2β

=-

5

13

，
∴cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（2）已知點(diǎn)C（-1，

3

），函數(shù)f（α）=

OA

•

OC

=（cosα，sinα）•（-1，

3

）=

3

sinα-cosα=2sin（α-

π

6

）．
由α為銳角，可得α-

π

6

∈（-

π

6

，

π

3

），sin（α-

π

6

）∈（-

1

2

，

3

2

），∴2sin（α-

π

6

）∈（-1，

3

），
 即f（α）的值域?yàn)椋?1，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．