Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別于單位圓交于A，B兩點，
（1）如果A、B兩點的縱坐標分別為

4

5

、

12

13

，求cos（β-α）的值．
（2）已知點C（-1，

3

），記函數f（α）=

OA

•

OC

，求f（α）的值域．

Answer 1

考點：任意角的三角函數的定義,平面向量數量積的運算,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）由條件利用任意角的三角函數的定義，同角三角函數的基本關系，求出有sinα、sinβ、cosα、cosβ的值，可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα 的值．
（2）由條件利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=2sin（α-

π

6

），再根據α為銳角、正弦函數的定義域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）如果A、B兩點的縱坐標分別為

4

5

、

12

13

，則有sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

，
結合α為銳角、β為鈍角，可得cosα=

1-sin2α

=

3

5

，cosβ=-

1-sin2β

=-

5

13

，
∴cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（2）已知點C（-1，

3

），函數f（α）=

OA

•

OC

=（cosα，sinα）•（-1，

3

）=

3

sinα-cosα=2sin（α-

π

6

）．
由α為銳角，可得α-

π

6

∈（-

π

6

，

π

3

），sin（α-

π

6

）∈（-

1

2

，

3

2

），∴2sin（α-

π

6

）∈（-1，

3

），
 即f（α）的值域為（-1，

3

）．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，同角三角函數的基本關系，兩個向量的數量積公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．