Question

13．已知f（x）=ln（x+1），$g（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+bx$$（注：ln{（x+1）^'}=\frac{1}{x+1}）$
（1）若a=0，b=1時(shí)，求證：f（x）-g（x）≤0對(duì)于x∈（-1，+∞）恒成立；
（2）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，求出h（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求得h（x）的最大值即可得證；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于h′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）有解，分離參數(shù)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 （1）證明：若a=0，b=1時(shí)，
令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
則x=0為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，
故最大值為h（0）=0，
故h（x）≤h（0）．
即有f（x）-g（x）≤0對(duì)于x∈（-1，+∞）成立
（2）解：∵函數(shù)h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x的定義域?yàn)椋?，+∞），
且函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）有解，
即-ax²-2x+1＜0在（0，+∞）有解，
故a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1在（0，+∞）有解，
∴a＞-1，
故a的范圍為（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，注意存在與恒成立的區(qū)別，屬于中檔題．