Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和差的正弦公式化簡，以及根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）先判斷[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的單調(diào)性，再代值計算即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{5π}{12}$）=2，f（x）_min=f（$\frac{π}{6}$）=0，
∴f（x）的值域的值域為[0，2]

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的兩角和公式的運用以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．