Question

4．（1）求證：$已知：a＞0，求證：\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$
（2）已知：△ABC的三條邊分別為a，b，c．求證：$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）運用分析法證明．要證原不等式成立，可移項兩邊平方，化簡整理，即可得證；
（2）要證原不等式成立，可分子常數(shù)化，運用不等式的性質(zhì)和三角形的三邊的關系，即可得證．

解答 證明：（1）運用分析法證明．要證原不等式成立，
只需證$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{a+4}$＞$\sqrt{a+6}$+$\sqrt{a+3}$，
兩邊平方即為2a+9+2$\sqrt{a+5}$•$\sqrt{a+4}$＞2a+9+2$\sqrt{a+6}$•$\sqrt{a+3}$，
即有（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3），即a²+9a+20＞a²+9a+18，
20＞18，顯然成立，故原不等式成立；
（2）要證$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$成立，
只需證$1-\frac{1}{1+a+b}＞1-\frac{1}{1+c}$，
只需證$-\frac{1}{1+a+b}＞-\frac{1}{1+c}$，
只需證$\frac{1}{1+a+b}＜\frac{1}{1+c}$，
只需證1+c＜1+a+b，
只需證c＜a+b，
由a，b，c是△ABC的三條邊，
可得c＜a+b成立，原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法證明，結合不等式的性質(zhì)和三角形的三邊關系，考查推理能力，屬于中檔題．