Question

5．AF是圓O的直徑，B，C是圓上兩點(diǎn)，AB與AC的延長(zhǎng)線分別交過點(diǎn)F的切線于點(diǎn)D，E．求證：
（I）B，C，D，E四點(diǎn)共圓；
（II）AB•AD=AC•AE．

Answer 1

分析 （I）連接BF，利用切線的性質(zhì)得到AF與DE垂直，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ABF為直角，進(jìn)而得到∠AFB=∠D，根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=∠ACB，等量代換得到∠ACB=∠D，再由∠ACB為四邊形BCED的外角，故B，C，D，E四點(diǎn)共圓；
（II）由圓內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角得到兩對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似確定出三角形ABC與三角形AED相似，由相似得比例，即可得證．

解答 證明：（I）連接BF，
∵AF為圓O的直徑，DE與圓O相切于點(diǎn)F，
∴AF⊥DE，
∵∵點(diǎn)B在圓上，
∴∠ABF=90°，∠AFB=∠D，
∵∠AFB=∠ACB，
∴∠ACB=∠D，
∵∠ACB為四邊形BDEC的一個(gè)外角，
∴B，C，D，E四點(diǎn)共圓；
（II）由（I）得∠ACB=∠D，∠ABC=∠E，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
則AB•AD=AC•AE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了與圓有關(guān)的比例線段，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．