Question

1．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，AA₁=2AB，則CD與平面BDC₁所成角的正弦值等于（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)AB=1，則AA₁=2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，平面BDC₁的一個(gè)法向量，設(shè)CD與平面BDC₁所成角為θ，利用向量的夾角公式求出sinθ即可．

解答 解：設(shè)AB=1，則AA₁=2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，2），C₁（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），
∴$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面BDC₁的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-2，2，1），
設(shè)CD與平面BDC₁所成角為θ，則sinθ=|$\frac{2}{\sqrt{4+4+1}•1}$|=$\frac{2}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．