Question

14．已知f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過（0，a）可作y=f（x）的三條切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），表示出切線方程，求出a的表達(dá)式，通過求出求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
故，x∈（1，+∞），（-∞，-$\frac{2}{3}$）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，$x∈（{-\frac{2}{3}，1}），f（x）$單調(diào)遞減．…（4分）
（Ⅱ）過（0，a）可作y=f（x）的切線，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），則切線的方程為：y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
即$y-（{{x_0}^3-\frac{1}{2}{x_0}^2-2{x_0}+5}）=（{3{x_0}^2-{x_0}-2}）（{x-{x_0}}）$，
又（0，a）在切線上，
故$a-（{{x_0}^3-\frac{1}{2}{x_0}^2-2{x_0}+5}）=（{3{x_0}^2-{x_0}-2}）（{0-{x_0}}）$，
即$a=-2{x^3}_0+\frac{1}{2}{x^2}_0+5$．…（8分）
由已知得：y=a與$y=-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5$有三個(gè)交點(diǎn)，
y'=-6x²+x，令y'=0，得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{6}$，…（10分），
$（{-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5}）{|_{x=0}}=5，（{-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5}）{|_{x=\frac{1}{6}}}=5\frac{1}{216}$，
故a的取值范圍為$（{5，5\frac{1}{216}}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的交點(diǎn)問題，是一道中檔題．