Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a_n-$\frac{2}{{a}_{n}}$=2n，且a_n＜0．
（1）求a_n；
（2）判斷數(shù)列{a_n}的增減性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a_n的一元二次方程，利用求根公式進(jìn)行求解即可．
（2）利用分子有理化，結(jié)合分式函數(shù)和根式函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）∵a_n-$\frac{2}{{a}_{n}}$=2n，且a_n＜0．
∴a_n²-2na_n-2=0，且a_n＜0．
則a_n=$\frac{2n±\sqrt{4{n}^{2}+8}}{2}$=n±$\sqrt{{n}^{2}+2}$，
∵a_n＜0，
∴a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+2}$．
（2）當(dāng)n≥1時(shí)，a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+2}$=$\frac{（n-\sqrt{{n}^{2}+2}）（n+\sqrt{{n}^{2}+2}）}{n+\sqrt{{n}^{2}+2}}$=$\frac{-2}{n+\sqrt{{n}^{2}+2}}$，
∵當(dāng)n≥1時(shí)n和$\sqrt{{n}^{2}+2}$都是增函數(shù)，
∴n+$\sqrt{{n}^{2}+2}$為增函數(shù)，$\frac{2}{n+\sqrt{{n}^{2}+2}}$是減函數(shù)，-$\frac{2}{n+\sqrt{{n}^{2}+2}}$是增函數(shù)．
即數(shù)列{a_n}是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用求根公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．