Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，則滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍是（3，4]．

Answer 1

分析 令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）=2，得f[x（x-3）]≤f（4），再由單調(diào)性得到不等式組，解之即可．

解答 解：∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2?f[x（x-3）]≤f（4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{{x}^{2}-3x≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得：3＜x≤4．
∴原不等式的解集為：（3，4]．
故答案為：（3，4]．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．