Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{7}{4}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 由題意求出M、N的坐標(biāo)，求得|MN|，再求得$\overrightarrow{{F}_{1}M}、\overrightarrow{{F}_{1}N}$的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{7}{4}$列方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求．

解答 解：令x=c，代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，解得$y=±\frac{b^2}{a}$，
∴M，N的坐標(biāo)分別是$（{c，\frac{b^2}{a}}），（{c，-\frac{b^2}{a}}）$，
∴$|{MN}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$=3，①
$\overrightarrow{{F_1}M}=（2c，\frac{b^2}{a}）$，$\overrightarrow{{F_1}N}=（2c，-\frac{b^2}{a}）$，則$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=4{c^2}-\frac{b^4}{a^2}=\frac{7}{4}$．②
聯(lián)立①②，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．