Question

2．如圖所示，在圓柱OO₁中，AB，CD是底面圓O的兩條直徑，CC₁，DD₁是圓柱OO₁的兩條母線，且AC=1，BC=CC₁=$\sqrt{3}$．
（I） 證明：平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）在母線DD₁上找一點P使得二面角C₁-AB-P的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，并說明點P的位置．

Answer 1

分析 （I） 根據(jù)面面垂直的判定定理證明AC⊥平面C₁CB即可證明：平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可結合二面角的余弦值建立方程進行求解即可．

解答 （I） 證明：由題意得C₁C⊥平面ACB，則CA⊥C₁C，
在圓O內，AB是直徑，則∠ACB=90°，即AC⊥CB，
∵C₁C∩CB=C，C₁C，CB?平面C₁CB，
則AC⊥平面C₁CB，
∵AC?平面C₁CA，
∴平面平面C₁CA⊥平面C₁CB；
（Ⅱ）建立以C為坐標原點，CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則C₁（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），設P（1，$\sqrt{3}$，b），
設平面C₁AB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，則y=1，z=1，
則$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+bz=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，則y=1，z=$-\frac{\sqrt{3}}$，則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$-\frac{\sqrt{3}}$），
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{4-\frac{\sqrt{3}}}{\sqrt{5}•\sqrt{4+\frac{3}{^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則P（1，$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），則當DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即P為DD₁的靠近D₁的三等分點．

點評 本題考查了空間中的面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．