Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D為AB的中點，且CD⊥DA₁
（I）求證：BC₁∥平面DCA₁
（II）求證：平面ABC⊥平面ABB₁A₁
（III）求BC₁與平面ABB₁A₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK．根據(jù)三角形中位線定理，易得到DK∥BC₁，再由線面平行的判定定理得到BC₁∥平面DCA₁；
（II）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥AB，CD⊥DA₁，由此能證明平面ABC⊥平面ABB₁A₁
（III）由AC=BC，D為AB的中點，取A₁B₁的中點E，又D為AB的中點，得到DCC₁E是平行四邊形，則∠EBC₁即為BC₁與平面ABB₁A₁所成角的二面角，解三角形即可求出答案．

解答 解：（I）證明：如圖一，連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK．
在△ABC₁中，D、K為中點，∴DK∥BC₁，
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁．


（II）證明：∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD?平面ABC，∴平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（III）取A₁B₁的中點E，又D為AB的中點，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四邊形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角，
由前面證明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．
設(shè)AC=BC=BB₁=2，∴$B{C_1}=2\sqrt{2}$，$E{C_1}=\sqrt{2}$，∠EBC₁=30°．

點評 本題主要考查線面平行以及面面垂直的判斷，以及線面角的求解，根據(jù)線面平行和面面垂直的判定定理以及利用定義法求出線面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．