Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-m，a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，已知b+c=2，f（A）=-1，在使得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零點的所有m的取值中，當m取得最大值時，實數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用二倍角及輔助角公式先對已知函數(shù)進行化簡，易得m的值為3．通過已知函數(shù)解析式可以求得A=$\frac{π}{3}$．然后利用余弦定理和基本不等式來求a的最小值即可．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-m
=$\sqrt{3}$sin2x+（cos2x+1）-m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1-m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-m
∵在使得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零點，
∴m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)有解
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴0≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴0≤m≤3．
∴m_最大值=3，
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2=-1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b+c=2≥2$\sqrt{bc}$，當且僅當b=c時bc有最大值1．
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴a有最小值1，此時b=c=1．
故選：A．

點評 考查求三角函數(shù)的性質(zhì)常用的方法是整體角處理的方法、考查三角形中的余弦定理．有一定的難度．