Question

1．如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且PA=AC，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：△PBC是直角三角形；
（2）求證：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)底面是圓，得到BC⊥AC，再根據(jù)PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，即可證明BC⊥平面PAC，從而可證BC⊥PC，即可得證．
（2）由（1）可證BC⊥AE，由PA=AC，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，可證PC⊥AE，即可得證AE⊥平面PBC．

解答 證明：（1）∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．
（2）∵由（1）可得BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC內(nèi)，
∴BC⊥AE．
∵PA=AC，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)
∴PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．

點(diǎn)評 本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于中檔題．