Question

5．已知曲線Γ上的點(diǎn)到F（1，0）的距離比它到直線x=-3的距離小2，過F的直線交曲線Γ于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直線AB的斜率；
（3）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知：點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l'為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程；
（2）設(shè)直線AB方程為x=my+1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得y²-4my-4=0．由此能夠求出直線AB的斜率．
（3）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．由此能求出四邊形OACB的面積最小值．

解答 解：（1）由已知條件知，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l'為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為y²=4x（4分）
（2）依題意，設(shè)直線AB方程為x=my+1．            
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0． 
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
因?yàn)?nbsp;$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
所以 y₁=-2y₂．    ②…（5分）
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$． …（8分）
所以直線AB的斜率是$k=±2\sqrt{2}$（4分）
（3）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．  …（9分）
因?yàn)?S_△AOB=2×$\frac{1}{2}•|OF|×$|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$…（12分）
所以 m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．      …（13分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線斜率的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．