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5.已知曲線Γ上的點(diǎn)到F(1,0)的距離比它到直線x=-3的距離小2,過(guò)F的直線交曲線Γ于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線Γ的方程;
(2)若AF=2FB,求直線AB的斜率;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值.

分析 (1)由已知:點(diǎn)M到F(1,0)的距離與它到直線l':x=-1的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn),l'為準(zhǔn)線的拋物線,由此能求出曲線C的方程;
(2)設(shè)直線AB方程為x=my+1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,得y2-4my-4=0.由此能夠求出直線AB的斜率.
(3)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得M是線段OC的中點(diǎn),從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.由此能求出四邊形OACB的面積最小值.

解答 解:(1)由已知條件知,點(diǎn)M到F(1,0)的距離與它到直線l':x=-1的距離相等,
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn),l'為準(zhǔn)線的拋物線,
∴曲線C的方程為y2=4x(4分)
(2)依題意,設(shè)直線AB方程為x=my+1.            
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0. 
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=-4. ①
因?yàn)?nbsp;AF=2FB,
所以 y1=-2y2.    ②…(5分)
聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=±24. …(8分)
所以直線AB的斜率是k=±22(4分)
(3)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得M是線段OC的中點(diǎn),
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等,
所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.  …(9分)
因?yàn)?S△AOB=2×12|OF|×|y1-y2|=41+m2…(12分)
所以 m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值是4.      …(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程,考查直線斜率的求法,考查四邊形面積的最小值的求法,綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

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