Question

3．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，m），過(guò)點(diǎn)F₂的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；
（2）若直線PA，PF₂，PB的斜率之和為0，求m的所有整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程，求得a和b的值，由c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，即可求得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存時(shí)，由對(duì)稱性可知，m=0，直線AB的斜率存在時(shí)，分別求得PA，PF₂，PB的斜率，根據(jù)三者的斜率之和為0，求得k與m的關(guān)系，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，代入上式，m=-$\frac{20k}{16{k}^{2}+1}$，k=0時(shí)，m=0，k≠0時(shí)，丨m丨=$\frac{20丨k丨}{丨16{k}^{2}+1丨}$，利用基本不等式關(guān)系，即可求得m的取值范圍，求得m的所有整數(shù)值．

解答 解：（1）由橢圓的方程可知：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存時(shí)，由對(duì)稱性可知，m=0，
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，A（•，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可知：x₁≠-1，x₂≠-1，
∴直線PA的斜率為$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}+1}$=$\frac{k{x}_{1}-（k+m）}{{x}_{1}+1}$，
直線PF₂的斜率為-$\frac{m}{2}$，
直線PB的斜率為$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{x}_{2}-（k+m）}{{x}_{2}+1}$，
∴$\frac{k{x}_{1}-（k+m）}{{x}_{1}+1}$+（-$\frac{m}{2}$）+$\frac{k{x}_{2}-（k+m）}{{x}_{2}+1}$=0，
化簡(jiǎn)整理得：（4k-m）x₁•x₂-3m（x₁+x₂）-（4k+5m）=0，
將直線AB方程y=k（x-1）代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)整理得：
（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
代入整理得：16k²m+20k+m=0，
m=-$\frac{20k}{16{k}^{2}+1}$，
當(dāng)k=0時(shí)，m=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，丨m丨=$\frac{20丨k丨}{丨16{k}^{2}+1丨}$≤$\frac{20丨k丨}{2\sqrt{16{k}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，
故m的所有整數(shù)是-2，-1，0，1，2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，韋達(dá)定理及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．