Question

18．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，b，c，且acosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c=b，若a=1，$\sqrt{3}$c-2b=1，則角C為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，整理求出cosA的值，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關系式，把a與sinA的值代入得到關于b與c的方程，與已知等式聯(lián)立求出b與c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求得C的值．

解答 解：已知等式利用正弦定理化簡得：sinAcosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
由sinC≠0，整理得：cosA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²-$\sqrt{3}$bc①，
與$\sqrt{3}$c-2b=1聯(lián)立，解得：c=$\sqrt{3}$，b=1，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{1×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∵b＜c，∴B＜C，
則B=$\frac{π}{6}$，C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$．
故選：D．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．