Question

2．曲線y=e^-x在點(diǎn)（x₀，$\frac{1}{e}$）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，可得切線的方程，求得x，y軸的截距，運(yùn)用三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得e${\;}^{-{x}_{0}}$=$\frac{1}{e}$，解得x₀=1，
y=e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=-e^-x，
可得在點(diǎn)（1，$\frac{1}{e}$）處的切線斜率為-e^-1=-$\frac{1}{e}$，
即有切線的方程為y-$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$（x-1）．
令x=0，可得y軸上的截距為$\frac{2}{e}$；
y=0可得x軸上的截距為2．
即有圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{e}$=$\frac{2}{e}$．
故答案為：$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線方程的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．