Question

3．某廠生產(chǎn)某種新產(chǎn)品x件的總成本：C（x）=1200+$\frac{2}{75}$x³，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為（　　）

• A． 25件
• B． 20件
• C． 15件
• D． 30件

Answer 1

分析 分析題目數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，得出總利潤函數(shù)L（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-（1200+$\frac{2}{75}$x³）（x＞0），注意定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值，還原為實(shí)際問題即可．

解答 解：解：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p，則有p²=$\frac{k}{x}$，
將x=100，p=50代入，得k=250000，
所以p=p（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$，
設(shè)總利潤為L，L=L（x）=p（x）-c（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-（1200+$\frac{2}{75}$x³）（x＞0），
即L（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-1200-$\frac{2}{75}$x³，L'（x）=$\frac{250}{\sqrt{x}}$-$\frac{2{x}^{2}}{25}$，
令L'（x）=0，即$\frac{250}{\sqrt{x}}$-$\frac{2{x}^{2}}{25}$=0，解得x=25，
因?yàn)閤=25是函數(shù)L（x）在（0，+∞）上唯一的極值點(diǎn)，
且是極大值點(diǎn)，從而是最大值點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟，屬于中檔題．