Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）設h（x）=f（x）-g（x）．若函數(shù)h（x）在x=0處的切線過點（1，0），求m+n的值；
（2）設函數(shù)r（x）=$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{nx}{g（x）}$，且n=4m（m＞0），當x≥0時，比較r（x）與1的大小關系．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可得到結論．
（2）求出r（x）的表達式，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx-n．
則h（0）=1-n，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x-m，
則f′（0）=1-m，則函數(shù)在x=0處的切線方程為y-（1-n）=（1-m）x，
∵切線過點（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．
（2）當x≥0時，r（x）≥1，
證明：∵n=4m（m＞0），
∴函數(shù)r（x）=$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{nx}{g（x）}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{nx}{mx+n}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
則函數(shù)的導數(shù)r′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{16}{（x+4）^{2}}$=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，
設h（x）=16e^x-（x+4）²，
則h′（x）=16e^x-2（x+4）=16e^x-2x-8，
[h′（x）]′=16e^x-2，
當x≥0時，[h′（x）]′=16e^x-2＞0，則h′（x）為增函數(shù)，即h′（x）＞h′（0）=16-8=8＞0，
即h（x）為增函數(shù)，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，
即r′（x）≥0，即函數(shù)r（x）在[0，+∞）上單調遞增，
故r（x）≥r（0）=$\frac{1}{{e}^{0}}+0=1$，
故當x≥0時，r（x）≥1成立．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，在判斷函數(shù)的單調性的過程中，多次使用了導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵，難度較大．