Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

，（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，得到不等式，解得即可，
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可證明；
（Ⅲ），因?yàn)閍＞0，所以函數(shù)為增函數(shù)，故f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為

1+x

1-x

＞1，解得即可

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），
（Ⅱ）∵f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
（Ⅲ）∵a＞1時(shí)，f（x）＞0，
∴l(xiāng)og_a

1+x

1-x

＞log_a1，
∴

1+x

1-x

＞1，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集為（0，1）

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題