Question

6．函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+1|（x∈R）．
（1）求不等式f（x）＜4的解集M；
（2）若a∈M，b∈M，求證：|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得等式f（x）＜4的解集為M．
（2）當a、b∈M時，可得 a²＜1，b²＜1，可得（a²-1）（1-b²）＜0，即a²+b²＜1+a²b²，從而證得|a+b|＜|1+ab|成立，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+1|=2（|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|）
表示數(shù)軸上的x對應點到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$對應點的距離之和，
而1和-1對應點到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$對應點的距離之和正好等于2，
故不等式f（x）＜4即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|＜2的解集為M=（-1，1）；
（2）當a、b∈M時，
-1＜a＜1，-1＜b＜1，
∴a²＜1，b²＜1，
∴（a²-1）（1-b²）＜0，
即 a²+b²＜1+a²b²，
∴（a+b）²＜（1+ab）²，
∴|a+b|＜|1+ab|，
∴|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，用綜合法證明不等式，屬于中檔題．