Question

【題目】以表示值域為的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間。例如，當，時，，。則下列命題中正確的是：（ ）

A.設(shè)函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”

B.函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值

C.若函數(shù)，的定義域相同，且，，則

D.若函數(shù)有最大值，則

Answer 1

【答案】ACD

【解析】

A選項中，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域的定義，轉(zhuǎn)化成用簡易邏輯語言表示出來；

B選項中舉反例保證函數(shù)的值域為集合的子集，但值域是一個開區(qū)間，從而說明函數(shù)沒有最值；C選項中從并集的角度認識函數(shù)值域，可以發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)現(xiàn)命題正確；D選項中從極限的角度證明，均不成立，所以，再求出函數(shù)的值域為，從而得到命題D正確.

對A，“”即函數(shù)值域為，“，，”表示的是函數(shù)可以在中任意取值，故有：設(shè)函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”，命題A是真命題；

對B，若函數(shù)，即存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．

．例如：函數(shù)滿足，則有，此時，無最大值，無最小值．命題B“若函數(shù)，則有最大值和最小值．”是假命題；

對C，若函數(shù)，的定義域相同，且，，則值域為，，并且存在一個正數(shù)，使得，，則．命題C是真命題．

對D，函數(shù)有最大值，假設(shè)，當時，，，，則，與題意不符； 假設(shè)，當時，，，，則，與題意不符.，即函數(shù)，當時，，，即；當時，；當時，，，即．

，即，故命題D是真命題．

故選：ACD.