Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-2a+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜|x+1|；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a=1，利用絕對值的意義求得不等式f（x）＜|x+1|的解集．
（Ⅱ）由題意可得f（x）在[1，2]上的最小值大于或等于零，分類討論求得f（x）在[1，2]上的最小值，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，不等式f（x）＜|x+1|即|x-1|-2+1＜|x+1|，即|x-1|-|x+1|＜1．
而|x-1|-|x+1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離，
而-

1

2

對應(yīng)點(diǎn)到1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，故|x-1|-|x+1|＜1的解集為{x|x＞-

1

2

}，
即原不等式的解集為{x|x＞-

1

2

}．
（Ⅱ）若對任意x∈[1，2]，①當(dāng)a≤1時，函數(shù)f（x）=x-a-2a+1=x-3a+1，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（1）=2-3a，由2-3a≥0求得a≤

2

3

，
綜合可得a≤

2

3

．
②當(dāng)1＜a＜2時，f（x）=

1-a-x，1≤x≤a x-3a+1，x＞a

，故f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在（a，1]上單調(diào)遞增，
故f（x）的最小值為f（a）=1-2a，由1-2a≥0，求得a≤

1

2

，不滿足前提條件1＜a＜2，故舍去．
③當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）=-x+a-2a+1=-a+1-x，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
f（x）的最小值為f（2）=-1-a，由-1-a≥0求得a≤-1，不滿足前提條件a≥2，故舍去．
綜上可得，a≤

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，函數(shù)的恒成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．