Question

AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面DAF；
（Ⅱ）求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值；
（Ⅲ）求多面體ABCDFE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥平面ABEF，AF⊥BF，由此能證明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）取AB，CD，EF的中點(diǎn)M，P，N，∠MPN為所求二面角的平面角．由此能求出ABCD與平面CDEF所成銳二面角的正切值．
（Ⅲ）解作FA′⊥AB，EB′⊥AB，F(xiàn)D′⊥CD，EC′⊥CD，A′，B′，C′，D′為垂足，則V_ABCDFE=V_FA'D'-EB'C+2V_F-AA'D'D，由此能求出多面體ABCDFE的體積．

解答： （本題滿分13分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF；
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF；   …（4分）
（Ⅱ）解：取AB，CD，EF的中點(diǎn)M，P，N（如圖所示）
易證∠MPN為所求二面角的平面角．
根據(jù)題意MP=1，MN=

3

2

，
故tan∠MPN=

3

2

…（9分）
（Ⅲ）解：作FA′⊥AB，EB′⊥AB，F(xiàn)D′⊥CD，
EC'⊥CD，A′，B′，C′，D′為垂足，
則V_ABCDFE=V_FA'D'-EB'C+2V_F-AA'D'D=

1

2

×

3

2

×1×1+2×

1

3

×

1

2

×1×

3

2

=

5

12

3

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．