【題目】定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意R，均有．

（1）求證：；

（2）求證：對(duì)任意R，恒有；

（3）求證：是R上的增函數(shù)；

（4）若，求的取值范圍．

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）見解析； （4） .

【解析】

（1）利用賦值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；

（2）分類討論x < 0和兩種情況證明題中的不等式即可；

（3）由函數(shù)的性質(zhì)可證得當(dāng)時(shí)，f (x2) > f (x1)，則f(x)是R上的增函數(shù)．

（4）由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值可得x的取值范圍是(0，3)．

（1）證明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因?yàn)?/span>f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.

（2）當(dāng)x < 0時(shí)，－x >0，

所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，

又因?yàn)?/span>時(shí)，，所以對(duì)任意x∈R，恒有f (x) >0.

（3）證明：設(shè)，則，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．

因?yàn)?/span>x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，

則f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函數(shù)．

（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，

又由f (x) 為增函數(shù)，所以3x－x2 > 0 0 < x < 3.故x的取值范圍是(0，3)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知AB是⊙O的直徑，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線EC與⊙O相切于C，交AB于E，連接AC，且∠OAC=∠CAF，求證：

（1）AF⊥EC；
（2）若AE=5，AF=2，求AC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax2﹣x﹣1）（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（|sinx|）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑.

（Ⅰ）如圖，在以O圓心、半徑為2的O中，BC和BA是O的弦，其中，求弦AB的長(zhǎng);

(Ⅱ)在中，若是鈍角，求證：;

(Ⅲ)給定三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、R，其中，問：a、b、R滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以a、b為邊長(zhǎng)，R為外接圓半徑的不存在、存在一個(gè)或存在兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？在存在的情況下，用a、b、R表示c.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn ， 已知a1=1， =12．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）bn= ，bn的前n項(xiàng)和Tn ， 求證；Tn＜ ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的圖像可以由y=cos2x的圖像先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，最后向右平移個(gè)單位而得到.

⑴求f(x)的解析式與最小正周期；

⑵求f(x)在x∈(0，π)上的值域與單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝loga (其中a>0，且a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明；

(3)若x∈時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是[0,1]，求實(shí)數(shù)a的值．

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