Question

4．已知f（α）=cosα$\sqrt{\frac{cotα-cosα}{cotα+cosα}}$+sinα$\sqrt{\frac{tanα-sinα}{tanα+sinα}}$，且α為第二象限角．
（1）化簡(jiǎn)f（α）；
（2）若f（-α）=$\frac{1}{5}$，求$\frac{1}{tanα}$-$\frac{1}{cotα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得f（α）的解析式．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、平方差公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵α為第二象限角，
∴f（α）=cosα$\sqrt{\frac{cotα-cosα}{cotα+cosα}}$+sinα$\sqrt{\frac{tanα-sinα}{tanα+sinα}}$ 
=cosα•$\sqrt{\frac{cosα-sinαcosα}{cosα+sinαcosα}}$+sinα•$\sqrt{\frac{sinα-sinαcosα}{sinα+sinαcosα}}$
=cosα•$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=cosα•$\frac{1-sinα}{|cosα|}$+sinα•$\frac{1-cosα}{|sinα|}$
=-（1-sinα）+（1-cosα）=sinα-cosα．
（2）∵f（-α）=sin（-α）-cos（-α）=-sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，∴sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{{（cosα-sinα）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinαcosα}$=-$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{1}{tanα}$-$\frac{1}{cotα}$=$\frac{cosα}{sinα}$-$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{（cosα+sinα）•（cosα-sinα）}{sinαcosα}$
=$\frac{-\frac{1}{5}•（-\frac{7}{5}）}{-\frac{12}{25}}$=$-\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．