Question

2．如圖，多面體ABCDEF中，BA，BC，BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（I）若點(diǎn)G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（II）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （I）分別取AB，AF的中點(diǎn)M，H，連結(jié)MF，GH，DH，則由中位線定理可得GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$MF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，又CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，得出四邊形CDHG是平行四邊形，故CG∥DH，從而CG∥平面ADF；
（II）將多面體分解成三棱錐A-BCD和四棱錐D-ABEF，分別計(jì)算體積即可．

解答 解：（Ⅰ）分別取AB，AF的中點(diǎn)M，H，連結(jié)MF，GH，DH．
∵EF$\stackrel{∥}{=}$BM=$\frac{1}{2}AB$，
∴四邊形BEFM是平行四邊形，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$BE．
∵G，H分別是AM，AF的中點(diǎn)，
∴$GH\underline{\underline∥}\frac{1}{2}MF$$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，
又∵CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，
∴$CD\underline{\underline∥}GH$，
∴四邊形CDHG是平行四邊形
∴CG∥DH，又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF
（Ⅱ）∵BA，BC，BE兩兩垂直，
∴AB⊥平面BCDE，BC⊥平面ABEF．
V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
V_D-ABEF=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×1$=1．
∴多面體ABCDEF的體積V=V_A-BCD+V_D-ABEF=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．