Question

1．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點是F，左、右頂點分別是A₁，A₂，過F做直線A₁A₂的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A₁B⊥A₂C，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得F（c，0），A₁（-a，0），A₂（a，0），令x=c，代入雙曲線的方程，求得B，C的坐標，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)F（c，0），A₁（-a，0），A₂（a，0），
令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由A₁B⊥A₂C，可得k${\;}_{{A}_{1}B}$•k${\;}_{{A}_{2}C}$=-1，
即有$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a-c}$=-1，
即為b⁴=a²（c²-a²）=a²b²，
則a=b，c=$\sqrt{2}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的方程和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算求解能力，屬于中檔題．