Question

【題目】已知是橢圓（）的左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線恰好過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，過(guò)作與直線垂直的直線，證明對(duì)于任意的（），直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的準(zhǔn)線恰好過(guò)點(diǎn)，可得，再由左焦點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，結(jié)合，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出的坐標(biāo)，則可得，從而得到直線的斜率，根據(jù)直線的方程即可得直線的方程，從而得出定點(diǎn).

試題解析：（1）依題意得拋物線的準(zhǔn)線為，所以恰好過(guò)點(diǎn)，

∴左頂點(diǎn)為， ，

∴橢圓的方程為．

（2）直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，消去得

設(shè)，則

∵為線段的中點(diǎn)

∴，

∴的坐標(biāo)為，

則（），

所以直線的斜率為，

又直線的方程為，令，得，

∴直線的方程為，即直線，

∴直線過(guò)定點(diǎn)，此定點(diǎn)為．