Question

6．已知函數(shù) f（ x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$（ x∈R）．
（1）若 f（ x）為奇函數(shù)，求 a的值；
（2）在（1）的條件下，求 f（ x）在區(qū)間[1，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（ x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得a即可得出．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可知：f（ x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，因此f（ x）在區(qū)間[1，5]上的最小值為f（1）．即可得出．

解答 解：（1）∵f（ x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
f（ x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（ x）在區(qū)間[1，5]上的最小值為f（1）．
∵f（1）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{6}$，
∴f（ x）在區(qū)間[1，5]上的最小值為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．