10.如圖,某旅游區(qū)擬建一主題游樂園,該游樂區(qū)為五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為主題游樂區(qū),四邊形區(qū)域?yàn)锽CDE為休閑游樂區(qū),AB、BC,CD,DE,EA,BE為游樂園的主要道路(不考慮寬度).∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=3BC=3CD=3km.
(I)求道路BE的長度;
(Ⅱ)求道路AB,AE長度之和的最大值.

分析 (I)連接BD,由余弦定理可得BD,由已知可求∠CDB=∠CBD=30°,∠CDE=120°,可得∠BDE=90°,利用勾股定理即可得解BE的值.
(Ⅱ)設(shè)∠ABE=α,由正弦定理,可得AB=4sin(120°-α),AE=4sinα,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得AB+AE=4$\sqrt{3}$sin(α+30°),結(jié)合范圍30°<α+30°<150°,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB+AE的最大值,從而得解.

解答 (本題滿分為13分)
解:(I)如圖,連接BD,在△BCD中,由余弦定理可得:BD2=BD2+CD2-2BC•CDcos∠BCD=1+1-2×1×1×(-$\frac{1}{2}$)=3,
∴BD=$\sqrt{3}$,
∵BC=CD,
∴∠CDB=∠CBD=$\frac{180°-120°}{2}$=30°,
又∵∠CDE=120°,
∴∠BDE=90°,
∴在Rt△BDE中,BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$.…5分
(Ⅱ)設(shè)∠ABE=α,∵∠BAE=60°,∴∠AEB=120°-α,
在△ABE中,由正弦定理,可得:$\frac{AB}{sin∠AEB}=\frac{AE}{sin∠ABE}=\frac{BE}{sin∠BAE}$,
∵$\frac{BE}{sin∠BAE}=\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4,
∴AB=4sin(120°-α),AE=4sinα,
∴AB+AE=4sin(120°-α)+4sinα
=4($\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα$)+4sinα
=2$\sqrt{3}$cosα+6sinα
=4$\sqrt{3}$sin(α+30°),
∵0°<α<120°,
∴30°<α+30°<150°,
∴當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時(shí),AB+AE取得最大值4$\sqrt{3}$km,即道路AB,AE長度之和的最大值為4$\sqrt{3}$km.…13分

點(diǎn)評 本題考查余弦定理,考查正弦定理,考查三角函數(shù)的化簡,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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