18.已知函數(shù)f(x)=x+$\frac{m}{x}$(x>0,m>0)和函數(shù)g(x)=a|x-b|+c(x∈R,a>0,b>0).問(wèn):
(1)證明:f(x)在($\sqrt{m}$,+∞)上是增函數(shù);
(2)把函數(shù)g1(x)=|x|和g2(x)=|x-1|寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,并畫(huà)出它們的圖象,總結(jié)出g2(x)的圖象是如何由g1(x)的圖象得到的.請(qǐng)利用上面你的結(jié)論說(shuō)明:g(x)的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱(chēng);
(3)當(dāng)m=1,b=2,c=0時(shí),若f(x)>g(x)對(duì)于任意的x>0恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義可直接證明f(x)在$(\sqrt{m},+∞)$是增函數(shù).;
(2)由題意知g2(x)的圖象是由g1(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到的;根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)與平移可證明g(x)的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱(chēng);
(3)利用轉(zhuǎn)化思想:由題意可知$x+\frac{1}{x}>a|x-2|$對(duì)于任意的x>0恒成立.當(dāng)x≥2時(shí),不等式化為$x+\frac{1}{x}>a(x-2)$,
即(a-1)x2-2ax-1<0對(duì)于任意x≥2恒成立.

解答 證明:(1)在$(\sqrt{m},+∞)$內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,且x1<x2,則△x=x2-x1>0,$△y=f({x_2})-f({x_1})={x_2}+\frac{m}{x_2}-({x_1}+\frac{m}{x_1})=\frac{{{x_1}{x_2}-m}}{{{x_1}{x_2}}}({x_2}-{x_1})$,
因?yàn)?{x_1}>\sqrt{m}$,${x_2}>\sqrt{m}$,所以x1x2>m>0,又有x2-x1>0,所以△y>0,
所以f(x)在$(\sqrt{m},+∞)$是增函數(shù).
解:(2)${g_1}(x)=\left\{\begin{array}{l}x,x≥0\\-x,x<0\end{array}\right.$,${g_2}(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1,x≥1\\ 1-x,x<1.\end{array}\right.$;
g2(x)的圖象是由g1(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,
先考慮函數(shù)h(x)=a|x|+c(x∈R,b>0),
在h(x)的定義域內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則-x也在其定義域內(nèi),
因?yàn)閔(-x)=a|-x|+c=a|x|+c=h(x),所以函數(shù)h(x)是偶函數(shù),
即其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,
由上述結(jié)論,g(x)的圖象是由h(x)的圖象向右平移b個(gè)單位得到,
所以g(x)的圖象關(guān)于x=b對(duì)稱(chēng).
(3)由題意可知$x+\frac{1}{x}>a|x-2|$對(duì)于任意的x>0恒成立.
當(dāng)x≥2時(shí),不等式化為$x+\frac{1}{x}>a(x-2)$,
即(a-1)x2-2ax-1<0對(duì)于任意x≥2恒成立,
當(dāng)a-1=0時(shí),即a=1,不等式化為2x+1>0,滿足題意;
當(dāng)a-1≠0時(shí),由題意$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ a-1<0\end{array}\right.$進(jìn)而對(duì)稱(chēng)軸$x=\frac{a}{a-1}<0$,
所以(a-1)22-2a•2-1<0,解得0<a<1;
結(jié)合以上兩種情況0<a≤1.
當(dāng)0<x<2時(shí),不等式$x+\frac{1}{x}>a(2-x)$,
即(a+1)x2-2ax+1>0對(duì)于任意0<x<2恒成立,
由題意$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ a+1>0\end{array}\right.$進(jìn)而對(duì)稱(chēng)軸$x=\frac{a}{a+1}<1$,
所以△=4a2-4(a+1)<0,即a2-a-1<0,解得$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}<a<\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$,
所以$0<a<\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$.
綜上所述,a的取值范圍為(0,1].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義法證明,函數(shù)圖形的平移與函數(shù)性質(zhì)以及恒等轉(zhuǎn)化問(wèn)題,屬中等偏上題.

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