Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=

6

，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，由此利用VP-EAD=VE-PAD=

1

2

VB-PAD，能求出三棱錐P-EAD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中點(diǎn)，∴E是PB中點(diǎn)．
取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，BH=

3

2

AB=

3

．
∴VP-EAD=VE-PAD=

1

2

VB-PAD
=

1

2

×

1

3

×S△PAD×BH=

1

6

×

1

2

×2×

6

×

3

=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．