Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為ax-y=0，求x₀的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）＞x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程得到關(guān)于x₀的方程，解出即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出g（x）的單調(diào)性，得到g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$．…（2分）
因?yàn)?nbsp;切線ax-y=0過原點(diǎn)（0，0），
所以 $\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{x_0^2}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$．…（4分）
解得：x₀=2．…（6分）
證明：（Ⅱ）設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0）$，
則$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}$．
令$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}=0$，解得x=2．…（8分）
x在（0，+∞）上變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{e^2}{4}$	↗

所以 當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最小值$\frac{e^2}{4}$．…（10分）
所以 當(dāng)x＞0時(shí)，$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1$，即f（x）＞x．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．