Question

1．設(shè)a，b，c分別表示△ABC的內(nèi)角A，B，C的所對(duì)的邊，$\overrightarrow m$=（a，-$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow n$=（sinB，cosA），若a=$\sqrt{7}$，b=2，且$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$，則△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用平面向量共線的性質(zhì)及正弦定理可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，結(jié)合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函數(shù)值可求A，利用正弦定理可求sinB，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，$\overrightarrow m$=（a，-$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow n$=（sinB，cosA），
∴asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0．
又∵sinB≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}，\;\;∴sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∵a＞b，∴A＞B，∴$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$sinC=sin（A+B）=sin（{B+\frac{π}{3}}）=sinBcos\frac{π}{3}+cosBsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
∴△ABC的面積為$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量共線的性質(zhì)，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．