Question

11．根據(jù)兩角的和差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ②
由①+②得，sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ③
令α+β=A，α-β=B，則$α=\frac{A+B}{2}，β=\frac{A-B}{2}$，代入③得：$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$．
（I）類比上述推理方法，根據(jù)兩角的和差的余弦公式，求證：$cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$；
（II）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （I）寫出兩角和與差的余弦函數(shù)，通過(guò)作差，結(jié)合已知條件，求解即可．
（II）△ABC為直角三角形，利用二倍角公式以及第一問(wèn)的結(jié)果，化簡(jiǎn)推出2sin²C=-2sin（A+B）sin（A-B），通過(guò)三角形的內(nèi)角和推出sin（A+B）+sin（A-B）=0，然后求出B為直角．

解答 （本題滿分12分）
證明：（I）由cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ        ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ        ②
①-②得，cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…（2分）
令α+β=A，α-β=B，則$α=\frac{A+B}{2}，β=\frac{A-B}{2}$，
代入③得：$cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$．…（5分）
（II）△ABC為直角三角形，證明如下：
由余弦的二倍角公式得，1-cos2C=2sin²C，…（6分）
利用（I）證明的結(jié)論可知，cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），
又已知cos2A-cos2B=1-cos2C，
所以2sin²C=-2sin（A+B）sin（A-B），…（8分）
又A+B+C=π，的以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
則sin（A+B）+sin（A-B）=0，…（10分）
由已知得sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB，即2sinAcosB=0，
因?yàn)閟inA≠0，所以cosB=0，即$∠B=\frac{π}{2}$，
所以△ABC為直角三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式以及三角形的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．