Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，拋物線x²=4$\sqrt{6}$y的焦點(diǎn)B是雙曲線虛軸上的一個頂點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)B，可得b=$\sqrt{6}$，即c²-a²=b²=6，設(shè)F（c，0），A（m，n），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，求得m，n，代入雙曲線的方程，解a，c的方程組，可得a，c，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：拋物線x²=4$\sqrt{6}$y的焦點(diǎn)B為（0，$\sqrt{6}$），
可得雙曲線的b=$\sqrt{6}$，即c²-a²=b²=6，①
設(shè)F（c，0），A（m，n），由$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$，
可得m-0=2（c-m），n-$\sqrt{6}$=2（0-n），
即有m=$\frac{2c}{3}$，n=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
將A（$\frac{2c}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）代入雙曲線方程，可得：
$\frac{4{c}^{2}}{9{a}^{2}}$-$\frac{6}{9×6}$=1，即有2c²=5a²，②
由①②解得a=2，c=$\sqrt{10}$，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．